1.墨迹天气的平台版本
2.福建龙订古城旅游攻略龙订古城一日游攻略
3.蝴蝶效应该怎么理解？
4.哪位能转贴下E.N.Lorenz教授有关蝴蝶效应的论文啊?
墨迹天气的平台版本
iOS版
墨迹天气(官方)版本3.1中的新功能
新增功能：
1、实景评论功能升级
2、微信分享全面升级。
3、穿衣助手优化。
4、新增更新城市列表功能，上线新城市时，可以手动更新本地城市列表。
修复和优化：
1、修复3.0版本bug
墨迹天气(官方)版本2.8中的新功能
新增功能：
1、分男女穿衣提示，姚晨、阮经天为您展示明星穿衣提示。
2、新增微信朋友圈分享，在微信中也可以打开墨迹天气分享天气了。
3、增加37个城市逐6小时精细化预报，加入当天的更详细天气预报。
4、可以在分享界面选择分享实况天气，三天的预报或五天的预报。
5、新增未来预报天气分享。
6、完美适配iPhone5，iOS 6 。
修复和优化：
1、微信中打开墨迹天气分享崩溃的问题。
2、优化了自动定位功能，提高了定位速度
3、微信分享加入了
4、分享中去掉了拍照后是否保存的提示
5、解决有时从后台进入动画卡住的问题
墨迹天气(官方)版本2.6中的新功能
新功能：
1、增加小墨开关，您可以选择主界面是否显示小墨穿衣提示；
2、新增分享到微信功能，您可以在分享界面将天气分享给微信好友了！
3、月相显示：在晴天和多云的晚上，您可以在手机中墨迹天气看到月亮的变化！
4、分享天气时，可分享定位信息。
优化：
1、优化了白天晴、阴天、晚上晴等7个动画效果；
2、优化了新浪微博分享，提升分享速度；
3、在分享页面自动勾选已绑定的帐号。
墨迹天气(官方)版本2.5中的新功能
新增功能：
1、增加了风力趋势图，让您对近6天（包括前一天历史数据）的风力一目了然；
2、增加了时区判断，国际城市的更新时间为您换算成了手机当地时区；
修复及优化：
1、优化了“同步设置中”的提示框样式；
2、优化了连接网络的提示图标；
3、统一化了滚动条样式，及各个页面的背景样式；
4、解决了凌晨数据显示的问题；
5、修复了完全程序退出后，自动语音播报不播放的问题；
6、修复了有时候小墨会穿两套衣服的问题；
7、修复了预警文字过长时落款出格的问题
墨迹天气iOS 2.3官方正式版发布！(2012-01-19)
春节来临之际，墨迹天气发布iOS 2.3版，全新的UI界面让视觉体验进一步升级，同时新增数项新功能，界面更绚丽，功能更实用，伴您春节出行无忧！
新增功能：
1.UI全面调整；
2.增加天气订阅功能，每天定时推送被订阅城市的天气情况；
3.城市管理界面，可以随意摆放城市顺序；
4.增加定时语音播报的功能，可设定工作日以及每天定时播报；
5.预警功能全新体验，让您第一时间掌握预警信息；
6.指数页面改版，让您体验简单清爽的界面；
7.更多体验可以点击“关于”界面。
墨迹天气iPad 2.3HD正式版发布！(2012-03-07)
在延续上版绚丽界面的同时，首次加入“小墨”穿衣参考卡通形象，再次革新天气预报体验！
“小墨”是一种全新看天气的方法。
我们将复杂的天气数据转换为适合各年龄段用户容易理解、直观的对原始的天气数据进行分析，结合各项指数等信息人性化的编制衣物穿着提示，给小墨配上最适宜的着装。
如果冬天外面寒冷，小墨就会戴上帽子、穿上大衣。
夏天炎热的天气，小墨会穿上短裤，戴上太阳镜 ，下雨天也会手上拿着雨伞，这就是墨迹天气为您带来的新鲜有趣且实用的天气预报体验。
“小墨”适用于包括儿童，成年人，老年人，残疾人士在内的绝大多数用户群体，满足用户快速的、准确了解天气信息的需求。
新增功能：
1.以卡通人物“小墨”来提示今天的穿着，“小墨”会根据今天的温度和天气状况进行显示；
2.新增分享到开心网功能；
3.新增天气订阅功能；
4.新增城市排序功能。
Android版
安卓版V5.00.02更新说明：
双鱼座的福音——界面华丽升级，外协更要美美哒~
白羊座的步伐——速度提升40%，急性子也有春天！
金牛座的战场——流量节省50%，省钱更省心！
巨蟹座的帮手——温馨提醒更进一步，关心Ta变得更简单啦~
天秤座的救星——穿衣提示上阵，今天穿什么不再纠结~ 狮子座的利器——炫酷天气动画，带你带你飞~！
水瓶座的舞台——拍个天空发时景，你那儿的天气真的很特别！
双子座的替身——全新的个人中心，整合你浪迹墨迹的各种消息！
处女座的伙伴——左侧空白32像素，我们真的都对齐辣！ 射手座的真爱——如此萌萌哒新版墨迹天气，你还会爱上别人么？
摩羯座的专注——我们辣么关心你，工作再忙也不怕会生病啦~ 天蝎座的杀气——实在不造写什么，只好拖到天蝎月发布啦%>_<%
安卓版v2.51.02更新说明:
新功能： 1、新春定制语音，邀您一起热闹过大年； 2、新年新皮肤，墨迹新春皮肤迎禧上线； 3、预警界面UI全新优化，查询分享更便捷； 4、新增长春尾号限行，更多新春元素等你来体验；
修复： 1、优化刷新机制，趋势界面滑动更流畅； 2、优化趋势界面低端机崩溃，4.0以下机型使用非滑动效果的问题。
安卓版 V2.42.02更新说明：
1.分享全面优化，可根据个人喜好选择优先分享平台，体验个性化分享！
2.墨迹大瘦身，渠道包狂减2M，更小，更省电！
3.重塑墨迹天气相机，更多节气水印等你来体验！
4.好友互动，用户可直接分享天气，时景，污染指数给关心的QQ好友噢！
5.新增逐六小时天气预报，增加温度细节，天气数据更精准！
6.个人主页新样式上线！
安卓版 V2.36.02更新说明：
1、地域、商圈精准锁定：细度时景新时代！时景功能再度升级，本地相机即拍即传，随时随地同朋友分享身边的最新时景。
2、玩转个人主页：个人主页自定义封面支持个人主页自定义上传背景图，为您的主页增添个性。
3、节日节气提醒更贴心：优化节日节气推送消息提供多角度、全方位的节日和节气消息,让你不错过每一个精彩时刻。
4、空气污染指数新界面：独一无二的仪表盘设计，更清晰！更清新！全新空气污染指数，加速度仪表盘时尚前卫的设计, 新颖的外观，引领天气预报新潮流！
修复和优化：
1、 修复APK皮肤安装无法使用问题
2、 新增污染指数页面分享
3、 优化分享预警到微信的链接和图标
4、 新增墨迹新功能点的帮助教程
安卓版 V2.33.02更新说明：
1、时景UI全新改进，操作更方便；
2、时景热图上线！足不出户，一览全国各地最美的时景；
3、我的地盘看我的，新增个人主页——个人照片，个人消息都在这儿看；
4、改进时景分享方式，分享更迅速、省流量；
5、手动分享天气默认分享文字，由原来的实况分享修改为3天详细预报文字；
安卓版 V2.32.03更新说明：
1、“语音闹钟”上线；
2、优化时景发布功能；
3、时景详情查看页面优化；
4、天气页面显示湿度，今日详情新增37城市逐6小时精细化天气预报；
5、天气页面，记录未来四天预报框的展开、收起状态；
6、时景分享微信时，可带缩略图分享；
安卓版 v2.32.02更新说明：
新功能：
1、软件新增了语音闹钟；
优化：
1、对软件的时景功能进行优化；
2、对分享时景天气的速度进行优化，分享更加的快捷；
安卓版 v2.31.02更新说明：
新功能：
1、新增桌面快捷“时景相机”，时景美图，一触及发。
2、时景功能升级，新增操作。
3、语音播报全面升级。
4、增加重力感应开关，减少应用耗电量。
2、动画优化
3、分享界面大改观，新增微信好友，网；
4、每日详情中，天气详情显示改进，当白天晚上天气不相同时会表示天气变化；
5、检测应用如果装载到SD卡中，会提示您转移至内存中；
6、通知栏文字颜色可以自定义；
7、增加GPS开关；
修复：
1、修复4.0系统通知栏不能取消的问题；
2、修复部分机型通知栏默认字颜色看不清楚的问题；
3、修复部分时景发布不成功的问题；
4、解决时景照片瀑布流崩溃问题；
5、优化时景发布页面，解决输入文字与天气信息勾选冲突的问题；
6、其它细节和UI的调整。
安卓最新版V2.30.10更新说明：
功能列表：
1)天气时景，随手拍摄当地实时天气照片并分享给100,000,000墨迹用户。
2)通过时景天气瀑布流浏览各地天气照片，并且可以对照片发表评论。
3)增加了帐号登录功能，登陆后可浏览自己发布的天气照片，并接收用户评论。
4)增加“动起来体”分享。
修复列表：
1、修复百度定位崩溃问题。
2、优化降低耗电量。
3、修复第三方皮肤中“发布”两字无法展示问题。
v2.22.02版更新日志：
新功能：
1、皮肤小铺改版！可以直接在热门/最新浏览列表中下载喜欢的皮肤了！可以直接在本地皮肤的列表中更
换喜欢的皮肤了！
2、城市管理交互修改，长按可以删除城市，可以拖动给城市排序；
3、增加了天气预警分享功能，可以把预警信息分享给关心的人；
4、增加通知栏提示，可以在“设置”中打开它，便捷的查看今天的天气；
5、短信自动分享，增加手工输入电话号码的功能；
6、修改了新浪微博的绑定方式；
7、自动语音播报弹出框，增加了隐藏功能，可以隐藏掉继续；
8、把天气图标换成了简洁风格。
修复和优化：
1、设置中把快捷的开关选项提出来了；
2、统一修改了提示框样式，Toast提示；
3、优化了发布时间显示规则，凌晨时不会显示“一天前发布”；
4、修复了覆盖升级后，生活界面时网络超时的问题。
v2.12.04版更新日志：
1、官方插件和DIY桌面插件，全部支持5*1和5*2；
2、温度趋势和风力趋势加入了一天的历史数据，可以通过对比来判断今天的冷暖；
3、全新界面UI，更绚丽的实景风格天气背景；
4、生活频道中新增了二十四节气、每日养生菜等精彩内容；
5、在生活页面，可以像玩微博一样下拉更新了；
6、新增皮肤载入位置设置，您可将喜欢的皮肤载入到手机内存中使用；
7、增加了腾讯微博自动分享的功能；
8、推送页面的预警提示文字，新增加了城市名称；
9、优化了自动更新机制，在更换城市时，会自动为您更新过期数据；
10、为公平起见，皮肤小铺打分人数不足10人的皮肤，不显示分值；
11、自动分享的分享时间设置优化；
12、5*1和5*2的插件适用范围:可以自定义桌面布局的第三方桌面程序,原生桌面支持5*5布局的手机，如:三星Galaxy Note。
墨迹天气android2.1正式版发布！(2012-03-16)
墨迹天气一直以开发出最优秀的生活软件为目标，2012年3月16日发布全新Android 2.1版，支持高达1280*800分辨率，让更多用户能够体验墨迹带来的绚丽效果。
全新改版的生活和工具频道，添加更多实用生活信息，星座运程等生活资讯一网打尽。
独创的自定义指数管理模式，轻松多项专业气象指数，让指数的关注更加精准。
新功能
1.倒数日，生日，纪念日，还款日等重要日期倒数日提醒，生活乐无忧。
2.趋势界面加入风力，城市切换， 城市添加和更新。
3.温馨提示（北京地区）加入尾号限行。
4.更全面细致的生活页面。
5.黄历语音播报
优化
1.皮肤工具升级，高分辨率插件适配
2.数据优化
3.分享时可以@墨迹天气
4.皮肤小铺评论显示优化
5.去掉内置皮肤
6.黄历包减小
8、优化自动定位功能；
9、在每日详情中，加入“节气提醒”；
Windows Phone版
墨迹天气是国内最受欢迎的天气软件，天气数据覆盖全国3000多个县级以上城市及地区，提供了详尽的天气、温度、风力、灾害预警、生活指数等预报信息。
墨迹天气全新Windows Phone客户端，整合了平台诸多特性，给您以最独特最新颖的操作体验。
将天气预报、生活指数、灾害预警、温馨提示等内容主体更简洁的展示在新平台上，带给您第一时间的天气资讯。
更新日志
V1.2.0.1更新（2013/11/26）：
A: 添加双击backup键退出功能.
B: 中文简体、国际英文、 中文繁体设置界面无缝切换语言版本
C: 支持摄氏与华氏温度格式切换.
D: 替换雨天下雨天气动态背景.
E: 修复大磁贴背面 静态-13°天气.
F: 修复10+以上 的Bug
V1.2 版本更新：
1. 全城时景照片，享受WP的天气时景.
2. 热门，浏览各地天气美图.
3. 每天都有专题，我带你寻找不一样的时景.
4. 随时随地拍照片，记录生活的每一瞬间.
5. 锁屏和磁贴，焕然一新！让你告别单调.
6. 新增部分动态背景，天气更加动人.
7. 支持简体中文、英语、中文繁体，提供全球超过十万个城市和地区的天气.
V1.1版本更新：
1、全新全景视图，配合动态背景，高端大气上档次。
（白天晴、多云、阴）
2、甜美语音播报登陆WP，感受听得到的天气之声。
3、全新分享流程和分享界面，新浪微博专属小尾巴，更清新更方便。
4、趋势界面全新改版，新增风力趋势预报。
5、自动定位全面升级，一秒获取您的城市。
6、更新天气、日出日落等小动画，在细节上抓住你的心。
V*1.0.1版修复：
A:部分机型出现闪退无法进入应用
B:预警通知频繁推送
C:无法添加城市 无法定位
D:修改锁屏时天气内容显示
墨迹天气 for Windows Phone 8 ver 1.0正式发布！（2013-07-08）
1、流式滑动布局，查看天气更直观。
2、全新天气趋势模块，温差变化一目了然。
3、详细的空气质量数据，温馨的生活指数提示，指导您的生活出行。
4、及时准确的气象灾害预警，突变天气早知道。
5、主要城市提供更详细的逐六小时预报，不再担心出门后遭遇状况。
6、三种规格百变磁贴，开始屏幕不再单调。
7、锁屏天气配合锁屏天气，看天气更简单。
8、天气分享，关心Ta也关心Ta那里的天气吧。
9、语音播报天气情况，不用开电视也能听到专业的天气播报。
10、定时自动更新，早晚天气推送，了解天气更及时。
11、自动定位您的位置，走到哪天气看到哪。
Symbian版
塞班V6.0的详细说明：
1. 微风改为无定向
2. 完善预警类型(之前有些预警因为没有导致无法显示)
3. 精简一些
4. 更换各大界面背景效果
塞班V5.3的详细说明：
新增以下功能(3rd,5th 共通)
1. 用户可随意自定义桌面样式（根据皮肤工具）；
2. 新版皮肤制作工具1.6版，所见即所得的设计效果；
3. 为配合新版皮肤制作工具功能新增2种桌面样式（用来演示自定义皮肤效果，请大家用皮肤工具尽情发挥！)；
4. 整理了默认皮肤自带的桌面样式类型；
5. 增加了“天气网标”桌面样式。
Windows8版
墨迹天气是国内受欢迎的天气软件，天气数据覆盖全国3000多个县级以上城市及地区，提供详尽的天气、温度、风力、灾害预警、生活指数等预报信息。
最新版本：v1.1.0.0
使用方法
福建龙订古城旅游攻略龙订古城一日游攻略
1.长订古城一日游攻略
是。
长汀古城。
中国有许多古城，位于福建省龙岩市的长汀古城是其中最杰出的一座。长汀古城，又称汀州古城，被誉为世界客家首府。与湖南凤凰古城PK，已有1200多年的历史。
汀江缓缓流过，滋润着长汀人，一江两岸的明夜让人流连忘返。惠济码头，从这里登上游轮，开始旅程。一方面有古色古香的古建筑；另一方面，有现代建筑，有充满时代感的现代建筑。突然，就像穿越一样。
:2.古城游玩攻略
1.丽江古城旅游是一个古老的建筑。可以去木府或者万古鲁。它s像束河古镇比较安静，白沙古镇可以看白沙壁画。如图所示。
2.云南丽江旅游：大研古镇、幕府、玉龙雪山、黑龙潭公园、束河古镇、玉水寨、千桂山、虎跳峡、香格里拉、泸沽湖。丽江客栈古镇住宿，丽江户外俱乐部，丽江鸡火锅，丽江粑粑，黄豆，酥油茶，炸土豆，米饭灌肠，牦牛酸奶，土豆鸡，土鸡米线推荐旅行。如图所示。
3.第一天可以逛古城到幕府、万古楼；第二天可以去玉龙雪山、黑龙潭公园；第三、四天，可以去泸沽湖；第五天可以去拉市海骑马，体验茶马古道文化；第六、七天可以去香格里拉，长江第一湾——虎跳峡(徒步)；第六、七天可以去香格里拉，普达措公园-丽江。如图所示。
4.这里紫外线比较强，气候比较干燥，早晚温差比较大。这些都需要注意。如果你不没有足够的休息，去一些景点容易引起头晕和高原反应。如图所示。
5.如果当时想自己去景点，这点需要注意，以免被当地人骗了。唐不要随意在景点买东西，因为那里卖的东西差不多，但是很贵。如图所示。
010到1010，乘9路或114路公交车到王喜汽车站，在车站买3502路公交车，在巍山下车，然后坐四块钱到城关的汽车票，在城关大石桥下车。
3.天长古城游玩攻略
不可用。
长汀古城名为汀州，汀州都城历史上经历过两次迁徙，第三次迁到现在的地方。汀州古城墙沿汀江北上至卧龙山东坡，沿西坡蜿蜒而下，到达平地后环绕全城，将半座卧龙山围在城中，形成了城中有山、山中有城的汀州古城独特特色。
4.长订古城一天游
古城免费开放。
李赣古城位于甘肃省金昌市永昌县李赣大道，是古丝绸之路上的重要城市和军事要塞，也是中国历史上重要的民族融合典型城市。古城墙宽10米，高5.6米，四面有四座门楼，四角有四座角楼。墙内是住房，区内主要有古罗马风格的房屋、罗马寺庙、古罗马街道、古罗马广场、贝尔尼尼广场等景点。
李赣古城遗址位于永昌县者来寨村。汉初，李赣县曾设在这里，属张掖县。李_是大秦国，张掖的李赣郡以此国为名。目前，李赣只有一段28米长、3.8米宽、1.5米高的遗址。夯实层在15到17厘米之间。
5.今日古城游玩一览表
天长古镇、广府古镇、河津古镇、方胜古镇、杨柳青古镇.
字体根据古老的传说，于霞30岁时还没有结婚。他在涂山遇到了一只九尾白狐，听了一个涂山人唱的歌后，娶了一个叫女娇的涂山姑娘。根据传说，涂山是由于霞嫁给涂山石，并会见了公关
关于涂姓的由来，还有一种说法是洪州(今江西南昌)人住在土水边附近，因其水而姓涂氏，即云韵，《风俗通义》，南宋郑樵：屠氏，洪州人，以水得名。这种说法显然是错误的，因为洪州建于隋黄凯九年(589)，唐朝的管辖范围相当于今天江西的修水、锦江流域、南昌、丰城、进贤等地。领土上没有水。土水，古称水，唐代由土水改为滁河，即今天的滁河。它位于安徽省东部，是长江下游的一条支流。它发源于安徽省肥东县东北部，蜿蜒向东，经过全椒、滁县、来安等县，再在江苏县入长江。因此，图姓水的姓，不是发源于洪州，而是发源于今天的安徽东部。
屠云，西汉平陵(今陕西省咸阳市西北)人，掌管《姓氏族谱笺释》。这说明在汉朝之前，屠中原有一个氏族。据《涂氏族谱》年的记载，晋代屠秦，新吴侯，渡过长江南下到(今属江西南昌)，是我国东南地区屠氏的始祖。从那时起，张羽县就成了土族的发展和繁衍中心。在很长一段时间里。因此，《通志氏族略》注释Tus县为张羽。据蕉岭涂氏族谱记载，有始作俑者大，由南丰(今江西广昌县东)迁至江西宜黄代县乡；9三十四公孙，柳州(今广西)知府，周西始祖；19日孙小七郎居连城县(福建汀州府)；21世纪，孙48郎公因元末之乱，迁居广东潮州大埔县清溪，又迁居三河村。二十二日孙四十七郎公迁居广东蕉岭招抚乡河西黄沙坝白石方土，成为蕉岭土兴创始人。清朝康熙年间，一批来自广东的土族人迁到台湾地区下淡水港，后来发展成为台湾地区第65大姓，还有人到新加坡等国谋生。
史籍中发现的涂姓人物，基本都是五代以后的。宋代两个知名的涂姓人物，都是宜黄人。首先，学者涂文生精通易学。第一，进士在绍兴画大经。明代有黄奕人，作过几本书，研究过辞赋，研究过香山。洪曾提出19篇时事文章。屠锐，番禺(今广东广州)人，文学家，尤擅书法。他去翰林院写的。南昌(今江西)人，兵部官员涂宗卓。清代工部尚书屠天祥，孝感(今湖北)人；秀才涂瑞，直隶新城(今河北)人；湖广总督涂宗瑛生于鲁安(今安徽)。屠(1906——1962)，现代气象学家，湖北汉口人，解放后加入中国***。他是第一任中央气象局局长和中国科学院地理学部常务委员。他开创了中国长期天气预报的研究工作，为中国的发展做出了巨大贡献解放后的美国气象事业。
涂姓在中国姓氏中按人口顺序排在第143位，约占中国汉族人口的0.084%。分布广泛，尤其是广东、江西、湖北等地，约占我国汉族人口的80%。此外，陕西安康、四川成都、辽宁沈阳等地也有一部分人姓涂。土族姓氏不仅是汉族常见的姓氏，也是一些少数民族用的姓氏。比如鄂温克族的图克东，其汉姓为涂；锡克族图克色里氏震级，中国人姓涂；土家族也有土姓。
根据张超桅《古文尚书》，h
6.天长古城旅游景点
胭脂山位于天长市西北角。明代嘉靖(《姓氏族谱笺释》年)说，在城市的西北角，有一个高高的土堆，被阳光掩映着，红艳艳的。包(郑)是一个县(阶)，名叫红山，现在叫胭脂山。山顶有八角亭，朱栋皂瓦，身在待飞。明代的一位诗人说：郡治西山，胭脂照日头。杨颜躺在金镜前，笑眯眯的。周围种植了数百棵桃树，它们在春天盛开着鲜艳的花朵。亭子和树木被毁坏后，已经恢复了。桃树种植在周广。朱孝子庙位于天长市东22.5公里的秦岚镇。纪念宋代著名孝子朱寿昌。朱寿昌，天长人。七岁时，母亲刘被父亲遗弃，父亲当时是永州的警察局长。他找了50年的母亲，但他没能找到。当他听说他的母亲在陕西时，他抛弃了周知的官员。他千里寻母，迎母归来，无微不至。朝廷给了表扬信，大家都知道他孝顺。王安石、苏轼等。争诗之美，后人一直把它列为二十四孝。该寺始建于宋代，此后多次修缮扩建。现在有两个入口，每个入口三个，两个入口之间有一个天井。沃陵园又被称为之墓。天长东门外邱家湾天阳(周)公路南侧。沃就是沃天，山东邓州人。明嘉靖二十五年(1546年)，吴进士、浙部都督伊、仪征守备。嘉靖三十二年(1553年)，侵华日军入侵扬州，向天长挺进，被倭提兵迎击，在城东六十里处大败敌军，拯救天长。当沃追赶敌人时，不幸的是，他的马陷入沼泽而被杀死了。我我会把整件事呈交给镇远将军。人们念着他们的功德，建造坟墓和神龛。墓前有许多纪念碑。现存的一座纪念碑是天长县抗日救国会于1932年竖立的。碑文写着：明朝赠送的镇远将军，掌管着倭寇战死的沃公田墓。护国寺护国寺位于安徽省天长市。它创建于同治年间。原县城西门外，迁至市内西门街，更名为天后宫，也称为护国寺。多次后被兵败。年12月，安徽省人民美国执行宗教政策，批准重建护国寺。它被列为省级重点开放寺庙之一。天长县委统战部、县宗教局立即指派专人长期负责具体筹备工作。为了真正体现寺院由僧人自己管理的原则，特邀请正直的万经法师和郎平法师分别作为住持和主管来到寺院。护国寺原本考虑在天后宫的基础上重建。然而，由于面积狭窄，交通不便，护国寺最终被转移到距离县城两英里的南郊王成刚进行建设。国子庙新址紧临川江，桑树翠竹环绕，环境幽雅。1987年4月，重建工程破土动工。十多年来，在各级和有关人士的大力帮助下，先后投资250万元，修了山门、大雄宝殿、观音殿、报恩殿、玉佛楼、方丈楼等。都是新建的。此外，还建有韦克园，内有亭、亭、永风亭、易城堡、长春楼、园等景点。所有的建筑都是模仿苏州和扬州的寺庙。这是一座全新的花园式寺庙。迄今为止，护国寺已经接待了来自国内外的50多万名朝圣者。现在护国寺已成为主要景点
现为滁州CPPCC、天长CPPCC会员，天长市佛教协会会长。他现在是监狱的接班师傅，30岁，安徽滁州人。1990年出家，师从真焕法师，毕业于南京栖霞山佛学院，兼任安徽省天长市佛教协会副会长。卧龙公园卧龙公园位于天长市西门釜山镇。这里交通便利，区位优势明显。美丽迷人的神话传说，公园里美丽的山和水是您休闲度旅游的理想场所。探索小径，听鸟鸣，闻花香，欣赏奇石，沐浴森林，会让你解除烦恼，很高兴你来了。主要景点：黄仙桥、钓鱼台、梁杰园林、龙隐庙和以“天下第一”闻名的王龙井。山有多高，水有多高在周边地区。龙岗(原名芙蓉岗)，龙岗抗大八校区旧址千年古镇，位于天长市北30公里美丽的高邮湖畔。镇上明清古民居特色鲜明，保存完好。状元戴兰芬，生于清朝道光年间。——中国人民第八支部旧址省级重点文物保护单位抗日军政大学分布在古民居中，相得益彰。、陈毅、粟裕、郑位三、罗炳辉等老一辈无产阶级革命家曾在这里生活和战斗过，他们的光辉事迹使这里成为独具魅力的革命圣地。玉墓石刻杨杰将军墓地位于天长市玉兴县草庙山。杨杰，江苏宝应人，清康熙时期昭武将军，光禄大夫，太子太保。他参加了平三藩、台湾地区、准噶尔等多次重要战争。他做出了卓越的贡献，死后被安葬。它的墓区美丽而宏伟。墓前石刻造型优美，工艺精湛，具有较高的科学艺术价值，属于省级重点文物保护。杨洁界牌镇河口村将军墓园的石雕，苍鹭居住的地方，是乡间的一条僻静小路。一户人家，方圆不到300平方米的杂木林，居然栖息着一万多只苍鹭。鸟飞如厚云遮日，落如花开雪压枝头。场面壮观，意境绝妙。请过来！远离喧嚣，体验人与鸟的共存，欣赏自然的创造。这里永远不是你梦中的人间天堂！界牌镇河口村白鹭栖息地位于美丽的高邮湖畔，40分钟从天长市区向北行驶。森林天长森林公园位于西城区天长，天康大道北侧，背靠白塔河。环境优雅，是市区主要的休闲设施之一。公园主体是2000多亩的城市防护林。防护林中树木整齐，遮荫蔽日，鸟语花香，是天然的肺这座城市的。公园是一个新开发的公共休闲设施，其建设有一个鲜明的绿色环保主题。园内设施以木质为主，有绿色围栏、蘑菇形木塔、冷杉形绿色木屋。九曲木桥尽头的欧式休闲木屋，充分体现了人与自然的和谐。目前主要的观光项目有：花卉园、盆景园、水上游乐场、儿童s操场等。
:7.长订古城天气预报
.雄伟的万里长城是人类建筑史上罕见的古代军事防御工程。它是中华民族的骄傲和象征。它凝聚了我们祖先的血汗和智慧。它以悠久的历史、庞大的工程和雄伟的气魄而闻名。它与埃及的金字塔、印度的泰姬陵和伊斯坦布尔的圣索非亚教堂一起被誉为世界奇迹。
2.长城是中国古代极其宏伟的防御建筑工程。东西南北纵横交错在我们祖国的辽阔土地上。其中，横贯中国北部的长城规模更大，从东到西长达一万多英里。因此，它被称为万里长城。它它像一条长龙，翻越巍峨的群山，穿越无边的草原，穿越法尔汗沙漠，奔向无边的大海。万里长城以其雄伟的气势、艰巨的工程和悠久的历史，不仅在中国古代建筑工程中是罕见的，在世界上也是罕见的。因此，它早已被列为世界奇迹之一。
3.登上八达岭长城最高的烽火台，眺望远方。蜿蜒的长城像龙一样飞翔，翻山越岭，游向远方的地平线；你看长城的堡垒，一个接一个，一堵接着一堵，一望无际，浩浩荡荡。看到如此壮丽的场面，一种民族自豪感油然而生；又高又长的长城建在高山峭壁上，施工难度难以想象。
4.长城真的很陡！有的坡度只有130度。如果旁边没有栏杆，我早就像球一样滚下去了。其险峻程度真的堪比黄山之险。长城真的很长。一望无际的群山看不到尽头。它走过四座烽火台很难，但它这只是总数的万分之一。它万里挑一真的很长！
5.长城，人类的杰作，中国的灵魂！她像一条巨龙屹立在世界的东方。她是一部波澜壮阔的史诗，两千年的风风雨雨在长城上刻下了壮丽的文章。八达岭长城是民族的象征，是中国人民和世界人民联系的纽带和桥梁，是通向世界的窗口。
6.著名的万里长城，像一条矫健的巨龙，蜿蜒曲折，平躺在中华大地上。万里长城，雄伟壮丽，是中国古代劳动人民创造的奇迹，是世界上最宏伟的建筑工程，是人类历史上独一无二、无与伦比的。
7.万里长城不仅是我们中国人的骄傲，而且包含了我们古代人民的劳动智慧和辛勤劳动。当我们站在万里长城的青砖上，或者欣赏长城的美丽时，我们会有一种自豪感。同样，这座宏伟的建筑也让我们的后人惊叹不已。
蝴蝶效应该怎么理解？
蝴蝶效应（ The Butterfly Effect）是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。这是一种混沌现象。蝴蝶在热带轻轻扇动一下翅膀，遥远的国家就可能造成一场飓风。
某地上空一只小小的蝴蝶扇动翅膀而扰动了空气，长时间后可能导致遥远的彼地发生一场暴风雨，以此比喻长时期大范围天气预报往往因一点点微小的因素造成难以预测的严重后果。微小的偏差是难以避免的，从而使长期天气预报具有不可预测性或不准确性。这如同打台球、下棋及其他人类活动，往往“差之毫厘，失之千里”、“一招不慎，满盘皆输”。长时期大范围天气预报是对于地球大气这个复杂系统进行观测计算与分析判断，它受到地球大气温度、湿度、压强诸多随时随地变化的因素的影响与制约，可想其综合效果的预测是难以精确无误的、蝴蝶效应是在所必然的．我们人类研究的对象还涉及到其他复杂系统（包括“自然体系”与“社会体系”），其内部也是诸多因素交相制约错综复杂，其“相应的蝴蝶效应”也是在所必然的。“今天的蝴蝶效应”或者“广义的蝴蝶效应”已不限于当初洛仑兹的蝴蝶效应仅对天气预报而言，而是一切复杂系统对初值极为敏感性的代名词或同义语，其含义是：对于一切复杂系统，在一定的“阈值条件”下，其长时期大范围的未来行为，对初始条件数值的微小变动或偏差极为敏感，即初值稍有变动或偏差，将导致未来前景的巨大差异，这往往是难以预测的或者说带有一定的随机。 蝴蝶效应是说，初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。有些小事可以糊涂，有些小事如经系统放大，则对一个组织、一个国家来说是很重要的，就不能糊涂。
哪位能转贴下E.N.Lorenz教授有关蝴蝶效应的论文啊?
一般地，如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为，就可以称这个真实物理系统是混沌的。一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统，称为动力系统，它的状态可由一个或几个变量数值确定。而一些动力系统中，两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致，恰如从长序列
中随机选取的两个状态那样，这种系统被称为敏感地依赖于初始条件。而对初始条件的敏感的依赖性也可作为一个混沌的定义。
与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。
混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间发展变化的过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。举个例子，生态学家对某物种的长期性态感兴趣，给定一些观察到的或实验得到的变量（如捕食者个数、气候的恶劣性、食物的可获性等等），建立数学模型来描述群体的增减。如果用Pn表示n代后该物种极限数目的百分比，则著名的“罗杰斯蒂映射”：Pn+1=kP(1-Pn)（k是依赖于生态条件的常数）可以用于在给定Po，k条件下，预报群体数的长期性态。如果将常数k处理成可变的参数k，则当k值增大到一定值后， “罗杰斯蒂映射”所构成的动力系统就进入混沌状态。最常见的气象模型是巨型动力系统的一个例子：温度、气压、风向、速度以及降雨量都是这个系统中随时间变化的变量。洛伦兹
（E.N.Lorenz）教授于1963年《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的关系。洛伦兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以引起模拟结果的巨大变化。洛伦兹打了个比喻，即我们在文首提到的关于在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球美国得克萨斯州的一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应”。
动力系统涉及上述类型和其他类型的物理及化学过程。它的研究目的是预测“过程”的最终发展结果。这就是说：如果完全知道在时间序列中一个过程的过去历史，能否预测它未来怎样？尤其能否预测该系统的长期或渐进的特性？这无疑是一个意义重大的问题。然而，即使是一个理想化的仅有一个变量的最简单的动力系统也会具有难以预测的基本上是随机的特性。动力系统中的一点或一个数的连续迭代产生的序列称为轨道。如果初始条件的微小改变使其相应的轨道在一定的迭代次数之内也只有微小改变，则动力系统是稳定的，此时，任意接近于给定初值的另一个初值的轨道可能与原轨道相差甚远，是不可预测的。因此，弄清给定动力系统中轨道不稳定的点的集合是及其重要的。所有其轨道不稳定的点构成的集合是这个动力系统的混沌集合，并且动力系统中参数的微小改变可以引起混沌集合结构的急剧变化。这种研究是及其复杂的，但是引入了计算机就可以形象地看到这种混沌集合的结构，看清它是一个简单集合还是一个复杂集合，以及随着动力系统本身的变化它是如何变化的。这也是混沌学为何会随着计算机技术的进步而进步的原因所在，所谓的分形也正是从此处进入混沌动力系统研究的。
我们简要谈一下混沌与分形的关系，混沌学研究的是无序中的有序，许多现象即使遵循严格的确定性规则，但大体上仍是无法预测的，比如大气中的湍流，人的心脏的跳动等等。混沌在不同的时间标度下表现出相似的变化模式，与分形在空间标度下表现的相似性十分相象。混沌主要讨论非线性动力系统的不稳、发散的过程，但系统在相空间总是收敛于一定的吸引子，这与分形的生成过程十分相象。混沌学与分形学在很大程度上依赖于计算机的进步，这对纯数学的传统观念提出了挑战，计算机技术不仅使这两个领域中的一些最新发现成为可能，同时因其图形直观的表现形式也极大地激发了科学家与公众的兴趣与认识，起到了推广作用。分形与混沌的一致性并非偶然，在混沌集合的计算机图像中，常常是轨道不稳定的点集形成了分形。所以这些分形由一个确切的规则（对应一个动力系统）给出：它们是一个动力系统的混沌集，是各种各样的奇异吸引子。因此，分形艺术的美丽就是混沌集合的美丽，对分形艺术的研究就是对混沌动力学研究的一部分。
混沌不是偶然的、个别的，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。
远古时代，人们对大自然的变幻无常有着神秘莫测的恐惧，几千年的文明进步使人类逐渐认识到，大自然有规律可循。经典力学的追随者认为，只要近似知道一个系统的初始条件和理解自然定理，就可计算系统的近似行为。世间事物的行为方式具有一种收敛性，这样的信念使经典力学在天文学上的预言获得了辉煌的成就，如海王星的发现。人们研究天王星时发现其轨道存在某些极小的不规则性，这使人们怀疑天王星外还有一颗未知行星。英国亚当斯根据开普勒定理算出了这颗新星何时出现在何方位，德国科学家戈勒进行探索，在与预计位置差1°的地方发现了此星。于是海王星的发现成为经典决定论最成功的例证。经典力学的成功无疑给人们巨大的信心，以致把宇宙看成一架庞大时钟的机械观占据了统治地位。伟大的法国数学家Laplace的一段名言把这种决定论的思想发展到了顶峰，他说：“设想某位智者在每一瞬时得知激励大自然的所有力及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者博大精深能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式之中，对他来说，没有什么事物是不确定的，将来就象过去一样清晰展现在眼前”。牛顿力学在天文上处理最成功的是两体问题，如地球和太阳的问题，两个天体在万有引力作用下围绕它们共同质心作严格的周期运动。正因如此，我们地球上的人类才有安宁舒适的家园。但太阳系不止两个成员，第三者的存在会否动摇这样的稳定和谐？Laplace曾用一种所谓的“摄动法”来修正三体运动的轨道，证明三体运动的稳定性。据说拿破仑曾问他此证明中上帝起了什么作用，他回答：“陛下，我不需要这样的设”。 Laplace否定了上帝，但他的结论却是错的。因为三体运动中存在着混沌。
什么是混沌呢？混沌是决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动，其本质是系统的长期行为对初始条件的敏感性。如我们常说“差之毫厘，失之千里”。西方控制论的创造者维纳对这种情形作了生动的描述：钉子缺，蹄铁卸；蹄铁卸，战马蹶；战马蹶，骑士绝；骑士绝，战事折；战事折，国家灭。
钉子缺这样一微不足道的小事，经逐级放大竟导致了国家的灭亡。系统对初值的敏感性又如美国气象学家洛仑兹蝴蝶效应中所说：“一只蝴蝶在巴西煽动翅膀，可能会在德州引起一场龙卷风”，这就是混沌。
环顾四周，我们的生存空间充满了混沌。混沌涉及的领域――物理、化学、生物、医学、社会经济，甚至触角伸进了艺术领域。混沌学的传道士宣称，混沌应属于二十世纪三大科学之一。相对论排除了绝对时空观的牛顿幻觉，量子论排除了可控测量过程中的牛顿迷梦，混沌则排除了拉普拉斯可预见性的狂想。混沌理论将开创科学思想上又一次新的革命。混沌学说将用一个不那么可预言的宇宙来取代牛顿、爱因斯坦的有序宇宙，混沌学者认为传统的时钟宇宙与真实世界毫不相关。
下面让我们来看看经典的混沌现象。
2 混沌现象
2.1 湍流(turbulent flow)
湍流是人类寻常惯见的现象。湍流现象普遍存在于行星和地球大气、海洋与江河、火箭尾流、乃至血液流动等自然现象之中。
1883年英国著名试验流体力学家雷诺(O.Reynolds)做了一个实验，演示了湍流的产生。将流体注入一容器，在容器内另有一盛有色液体的细管，如图1所示，管内的有色液体可由小口A流出，大容器下端B处装一阀门，可用来控制水的流速。当大容器内的水流较缓时，从细管中流出的有色液体呈一线状，两种流体互不混杂(图a)，我们称这种流动为层流。加大阀门让水流速度增大，当流速大到一定程度时，两种液体开始相互混杂，液体的流动开始呈现涡漩状结构，而且大涡漩套小涡漩，运动状态变得极端“紊乱”(图b)，无法对运动状态做出任何预测，我们称这种流动为湍流。
图2 燃烧烟柱的湍流
图1 湍流的产生(a) 互不混杂的层流(b) 湍流
湍流是一种典型的混沌现象，湍流的发生机制是物理学中一个历史悠久的难题。我们都知道流体力学中有一套描述流体运动的基本方程，这些方程是基于光滑和连续概念的决定性偏微分方程，它们无法描述如此复杂，没有规则的湍流，即使撇开湍流的空间结构不谈，决定性的流体力学方程怎么能允许貌似随机运动的紊乱的时间行为呢？
在日常生活中我们都可以见到湍流现象。图2所示是一支点燃的香烟，青烟一缕袅袅腾空。开始烟柱是直立的，达到一定高度时，突然变得紊乱起来。这是在热气流加速上升的过程中，层流变湍流的绝妙演示。
图3 木星上的大气湍流
一个有关宇宙奇迹恰如其分的描述是木星上的大气湍流。它象一个不运动、不消退的巨形风暴，图3所示为哈勃太空望远镜拍摄的木星大气湍流，它是太阳系中一个古老的标志。这些图象揭示了木星的表面是沸腾的湍流，有东西向的水平带。
2.2 洛仑兹水轮
图4所示为洛仑兹(E.Lorenz)发现的、精确对应于一种力学装置的有名的混沌系统――洛仑兹水轮，这种简单的构造竟也能表现出令人惊讶的复杂行为。
图4洛仑兹水轮
水轮顶端有水流恒定地冲下来，注入挂在轮边缘的水桶中。每只桶底部均有一小孔能恒定地漏水。如果上面的水流冲得很慢，顶部小桶不会装满，因而不能克服轮轴摩擦力，水轮也不会转动。如果水流加快。顶部水桶的重量带动了水轮，水轮可以用定速连续旋转，如图4(a)和图4(b)所示。一旦水流加快，旋转便呈混沌态，如图4(c)所示。传统的物理学家对于洛仑兹水轮这样简单的机械，直觉的印象告诉他们，经运一段长时间，这水轮只要水流冲速恒定，它一定会达到一个稳定状态。然而事实是，水轮永远不会停留在某一固定的角速度，而且永运不会以任何可以预测的形式重复。因为水桶是在水流下通过的，它们充满的程度取决于旋转的角速度。一旦水轮转得太快，水桶来不及充满或来不及漏掉足够的水，后面的桶比前面的桶重，则转动变慢，甚至发生逆转。
图5滴水龙头的混沌现象
2.3 滴水龙头
大多数人都知道当水龙头开得较小时，水滴将很有规律地从水龙头滴下。连续滴水的时间间隔可以非常一致，不少失眠者因老想着下一滴水什么时候滴下而心烦意乱，不能入睡。但当水流速度稍高时，水龙头的行为就是一般人不大熟悉的了。经观察发现，在某一速度范围内虽然水滴仍是一滴滴地分开落下，但其滴嗒方式却始终不重复，就象一个有无限创造力的鼓手。这种从有规律的滴水方式向似乎是随机的滴水方式的转变类似于层流向湍流的转变。如图5所示，在水龙头下放一话筒，记录水滴敲击话筒的声音脉冲，就很容易发现这种无规则的混沌现象。
(a) A射向B、C之间 (b) 先B后C (c) 先C后B
图6布尼莫维奇台球实验
2.4 布尼莫维奇台球实验
如图6(a)所示，A、B、C是光滑水平桌面上三个完全相同的台球，B、C两球并列在一起，作为静止的靶子，A球沿它们中心联线的垂直平分线朝它们撞去。设碰撞是完全弹性的，碰撞后三球各自如何运动?若设想因A球瞄得不够准而与B、C球的碰撞稍分先后，则我们就会得到如图6(b,c)所示截然不同的结果。如果说A与B、C的碰撞是绝对同时发生的，后果如何？我们就会哑然不知所对。在这样一个简单的二维三体问题理，完全决定性的牛顿定律竟然给不出确定的答案！
2.5 Belousov-Zhabothsky振荡化学反应
两种化学药品相混合，输入液中反应物浓度保持常量，输出液中浓度则呈混沌性振动。
2.6 生理医学
伯克利大学Walter教授发现健康受试者的心电图具有混沌的图象，而濒临死亡受试者的心电图则是非常规律的振动图象。
2.7 计算器迭代产生的混沌
一般的计算器上都有x2键，取一个介于0和1之间的数，比如0.54321，按x2键。再按它，反复按下去，这个过程称为迭代，观察结果读数，你很快会发现，当你第九次按下x2键时，得到结果为0，此后02=0，不会有什么其他结果出现了。
如果你用x2-1来迭代，将很快发现，结果在0和-1之间不断循环，因为道理很简单：
02-1=-1,(-1)2-1=0
若以迭代次数为横坐标，每一次的迭代结果为纵坐标，可得如图7所示的迭代序列图。
图7x2-1的迭代产生规则振荡，竖直方向是x值，水平方向是迭代次数
最后，我们来试一试迭代2x2-1，我们将得到一个如图8所示的迭代结果，这结果看上去远没有前面那么简单，事实上，他们看上去是无规的，或说混沌的。一个简单的，决定性的方程却产生了完全不能预测的、混沌的结果。
图82x2-1的迭代产生混沌
混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，早在20世纪初的1903年，法国数学家庞加莱（J.H.Poincare）从动力系统和拓扑学的全局思想出发指出了可能存在的混沌的特性，1954年，前苏联概率论大使柯尔莫哥洛夫指出不仅耗散系统有混沌，保守系统也有混沌，1963年，美国气象学家洛仑兹 (E.Lorenz) 在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，指出长期天气预报不可行的事实，他认为一串可能有一个临界点，在这一点上，小的变化可以放大为大的变化，这就是所谓著名的蝴蝶效应。蝴蝶在巴西煽动翅膀，可能会在德州引起一场龙卷风。混沌学的真正发展是在本世纪70年代后，17年第一次国际混沌会议在意大利召开，它标志着混沌科学的诞生。18年美国科学家费根鲍姆在《统计物理学》杂志上发表了关于普适性的论文。此文轰动了世界。从此以后，混沌的研究如星星之火，渐成燎原之势。
3 混沌学的研究方法
a: 趋向吸引子的螺旋轨道；
b: 似于周期的轨道（极限环）；c: 趋向于更复杂吸引子的轨道
图9
3.1 相空间几何与吸引子
研究表明，绝大多数描述系统状态的微分方程是非线性方程，当非线性作用强烈时，以往的近似方法不再适用。为此，法国数学家庞加莱提出了用相空间拓扑学求解非线性微分方程的定性理论。在不求出方程解的情况下，通过直接考查微分方程本身结构去研究其解的性质。该理论的核心是相空间的相图。相空间由质点速度和位置坐标构成。系统的一个状态可由相空间的一个点表示，称为相点。系统相点的轨迹称为相图。在相空间中，一个动力学系统最重要的特征是它的长期性态，一般动力学系统，随时间演变，最终将趋于一终极形态，此称为相空间中的吸引子。吸引子可以是稳定的平衡点(不动点) 或周期轨迹（极限环），见图9(a,b)，也可是持续不断变化没有规则秩序的许多回转曲线，这就是所谓奇怪吸引子，如图9(c)。
例：单摆的相图，考虑以下三种情况：(1)无阻尼小角度摆动；(2)无阻尼任意角摆动；(3)有阻尼小角度摆动；
图10 单摆小角度运动
解：(1)如图10所示的理想单摆，忽略一切阻尼，由牛顿第二定律，可得其运动方程为：
(1)
其中θ为摆角，g为重力加速度，l为摆长。若令 ，则(1)式成为：
(2)
当θ角很小时，sinθ≈θ，于是(2)式可写为：
图11 小角单摆的相图
(3)
对(3)式积分一次，可得
(4)
分别以θ和 为横坐标和纵坐标，则方程(4)的相图为一椭圆，c1为一与初始条件或总能量有关的积分常数，对不同的c1，可得一簇同心椭圆，如图11所示。该相图表明系统状态变化具有周期性。此即对应极限环吸引子。
(2) 若摆线为刚性轻质杆，则单摆可处于倒立状态，该单摆可做任意角摆动。单摆运动方程仍为(1)式，对(1)式积分一次可得：
(5)
(6)
c2为一与初始条件或总能量有关的积分常数，c2越大，能量越高。同时考虑小摆角和大摆角，可得如图12所示的相空间轨迹图。
图12 一般单摆运动的相图图13 有阻尼小角单摆相图
由图可见，在小角度低能情况下，相轨迹呈椭圆形。随着能量逐渐提高，椭圆轨迹变成左右两端呈尖角枣核状，当振幅（摆角）±π时，轨线上出现鞍点G、G’，实际上都对应于倒立摆的状态，是不稳定的双曲点。当能量再高时，相轨迹不再闭合，摆将顺时针或逆时针转起来，不再往复摆动。
（3）有阻尼小角度摆动
考虑了阻尼之后，摆角很小时的单摆运动方程为：
(7)
其中β=r/2m，为无量纲阻尼系数，r为阻尼系数。由情况（1）可知，单摆能量越小，椭圆相轨迹的长短半轴也越小，c1=0时，椭圆退化为一点，即原点，该点对应于单摆的稳定状态，对应于不动点吸引子。
3.2 奇异吸引子与蝴蝶效应
我们每天都收听或收看天气预报，尽可能准确进行长期天气预报是人类梦寐以求的愿望。计算机的发明和发展，为人类预报天气提供了有力的工具。大气实际上是无数冲来撞去的分子组成的，它们是不连续的，但在经典力学中，通常把大气当成连续、光滑的理想流体来代替。几百年前，欧拉和伯努利就写出了描述这种流体的运动方程。
图14气候演变曲线
为了求解运动方程，我们必须用离散的时间来迭代。所谓迭代就是用计算结果做为当前值代入方程求得方程的下一个值。就像我们在前面计算器迭代混沌中所做的那样，只是现在把那里的迭代次数换成了时间而已。为天气预报所作的迭代必须以惊人的高速进行，每秒要进行1百万次以上的运算。我们都相信，你的运算方程越精确，你的预报越准确。而事实上影响大气运动的因素太多了，不可能把所有的因素都考虑进去。因此，只能抓住主要矛盾，略去次要因素。
洛仑兹是一个气象学家，在孩提时代就是个气象迷，反复记录着他家房子外的小观测站里温度计的读数。他同时也热爱数学，热爱数学的纯洁性。正是这两种爱好，使他在混沌研究这个领域做出了开创性的工作。
洛仑兹那时正在用他的"马克比"计算机，对大气系统进行模拟，以便寻找进行长期天气预报的方法。有一次偶然的机会，洛仑兹没有把一次运算从头算起，他走了一条捷径，从中途去启动，把前面打印出来的结果做为初始条件输入。这新一轮的计算原本应当重复前一次的计算结果，因为程序并没有变，然而当他看到打印结果时，却目瞪口呆，他计算出来的气候演变曲线与上一轮的计算相去甚远，根本不是一个类型的气候，而是完全不同的两类气候，如图14所示。
检查问题出在他输入的数据上，计算机内存有6位数，如：0.506127，但打印时为了节省空间，只打出了三位数，即0.506。他本能地认为这千分之一的误差，不会对结果有什么大的影响，这个小差别仿佛一阵微风吹过，对大范围的气候不会有什么影响。事实却完全相反，气候的演变对初始条件极为敏感，可谓“差之毫厘，失之千里”，就好象巴西的一只蝴蝶拍拍翅膀，会在德州引起一场暴风雨一样，因此，洛仑兹称它为蝴蝶效应。蝴蝶效应实际上是动力学系统行为对初值敏感依赖性的一种通俗说法。
洛仑兹如果停留在蝴蝶效应上，说明气候变化的不可预见性，或长期天气预报是不可能的，那么他带来的不过是个坏消息，但是洛仑兹看到了几何结构。
洛仑兹把他的方程送进马克比计算机，它的迭代次数大约每秒1次。图15显示了他的变量y的值的前3000次迭代结果。前1500次，y值周期性地摇摆，摆幅平稳增长。而后，它剧烈振荡，毫无规律。洛仑兹画出以x,y,z为坐标轴的相空间曲线如图15所示。由图可见，相图是三维的，它由两片组成，各片各自围绕着一个不动点。若状态轨迹经过一段时间之后停在一个不动点上，那么意味着系统进入了一个稳定的状态，这相轨迹将是一个平庸吸引子。然而，事实上，相轨迹在两片上“随机”地跳来跳去，说明系统的状态演变着有某种规律性，这种相图不对应任何一种定常状态，因此，被称为奇异吸引子，又称洛仑兹吸引子。
图15 洛仑兹奇异吸引子
奇异吸引子的奇异之处在于，相轨迹虽在两片上跳来跳去，但决不自身相交，即不构成任何周期运动，系统的状态变化具有随机的不可预测性，因此奇异吸引子又称为混沌吸引子。此外，系统状态演变对初始条件非常敏感，相图中两个初始时任意靠近的点，经过足够长的时间后，在吸引子上被宏观地分离开来，对应完全不同的状态。
4 混沌的数学模型
4.1 通向混沌的道路――一维虫口模型――逻辑斯蒂映射
马尔萨斯(T.R.Malthas)在其《论人口原理》一书中，在分析了19世纪美洲和欧洲的一些地区的人口增长规律后得出结论：“在不控制的条件下，人口每25年增加一倍，即按几何级数增长”。不难把“马尔萨斯人口论”写成数学形式。为此可把25年做为一代，把第n代的人口记为xn，马尔萨斯的意思是：
xn+1 = 2xn (4.1)
这是简单的正比例关系，还可以写得更一般些，即：
xn+1 = gxn (4.2)
其中g是比例系数。不难验证，差分方程的解为：
xn = gnx0 (4.3)
x0 是开始计算的那一代人口数。只要g>1，xn 很快就趋向无穷大，发生“人炸”。这样的线性模型，完全不能反应人口的变化规律，但是稍加修正，就可以称为描述某些没有世代交叠的昆虫数目的虫口方程。
这项修正就是计入限制虫口增长的负因素。虫口数目太多时，由于争夺有限的食物和生存空间发生咬斗，由于接触传染而导致疾病蔓延，争斗使虫口数目减少的，这些的数目比例于xn2，于是方程4.2可以修正为：
xn+1 = gxn -gxn2 (4.4)
这个看起来很简单的方程却可以展现出丰富多彩的动力学行为。其实它并不是一个描述虫口变化的模型，它同时考虑了鼓励和抑制两种因素，反应出“过犹不及”的效应，因而具有更普遍的意义和用途。
方程(4.4)可写成一个抽象的、标准的虫口方程：
xn+1 = g xn(1- xn)(4.5)
如图16用迭代法考察解的特性，作y=f (x)及y=x的图，给出任一初值x0，得f (x0)，将其赋值给x1，得f (x1)…，如此循环下去。
图16 y = f (x)的迭代曲线
当0<g<1时，从任一初始值x0开始，代入方程(4.5)，可得x1，再把代入方程(4.5)，得x2，结果如图17(a)所示，最终迭代结果xn(r)￥=0，其意义可以认为，由于环境恶劣，虫口的繁殖能力有限(g太小)，使得种群最终走向灭亡。实际上，g代表了函数的非线性化的程度，g越大，gxn2越大，非线性化程度越高，抛物线的拱型越凸出，这种迭代也称单峰迭代。
当1<g<3时，迭代结果如图17(b)所示。比如取g =2, x0=0.9, x1=0.18,…, xn=0.5，它停在那儿不动了。即在xn=0.5处有一个点吸引子，一个稳定定态。若追踪这个种群，则会发现种群数目随着时间的演化而保持稳定的数值。
(a) 0<g<1 (b) 1<g<3(c) g =3.1 (d) g =3.58
图17 不同g参数的虫口迭代结果
当g =3.1时，经过一定的步骤，迭代结果会稳定在两个值x1n与x2n之间跳来跳去地振荡，如图17(c)所示。这个漂亮的振荡称为周期2循环，即若跟踪种群，会发现种群数目每隔一年，数目重复循环一次，就象有些果树有大年小年一样，x1n和x2n也是定点吸引子。
当g=3.53时，迭代结果将在4个值之间振荡，即振荡周期增加了一倍，称为周期4循环。继续增加g值，还可得周期8循环，周期16循环等等。每一次解的周期都增加一倍。当g 达到某一临界值时，比如g =3.58附近，迭代结果再也不循环了，而是疯狂地振荡，永远也不会稳定下来，我们称为混沌态，如图17(d)所示。
若以g 为横坐标，迭代结果为纵坐标，可得如图18所示的分岔图。从临界值g =g￥开始，逻辑斯蒂映射进入了混沌区，在这种情况下，种群的数目就完全不能预测了。这种吸
图18 虫口模型分岔图 图19 分岔图的自相似精细结构
引子是不同于不动点和周期解的一种奇异吸引子。若追踪种群，你会认为种群的数目变化完全是随机的。然而仔细观察图18会发现，在复杂的混沌区，会发现一些具有周期解的窗口，如3，6，12，…或7，14，28…，窗口内的分岔现象与整体有着相似的结构，即这种迭代分岔图有着无穷嵌套自相似的精细结构，如图19所示。一系列的倍周期分岔意味着混沌状态的到来。这是通过倍周期分岔进入混沌的典型模式。
混沌系统的重要特征是：改变某一参量，分岔一个接一个。终极形态由不动点向周期2(r)周期4(r)周期8等转化，实现一系列周期倍化分岔，最终走向混沌。
4.2 混沌效应的几何特性――贝诺勒拉伸折叠变换
